Draško Došljak je rođen 1966. godine u Beranama, gdje je završio osnovnu i srednju školu.
Diplomirao je na Odsjeku za srpskohrvatski jezik i jugoslovensku književnost Filološkog fakulteta Univerziteta u Prištini. Dobitnik je diplome Istaknuti student.
Magistrirao je na temi: “Lična imena Zaostra“ (mentor: prof. dr Svetozar Stijović), a titulu doktora filoloških nauka je stekao odbranom doktorske disertacije „Toponimija Gornjeg Bihora“ (mentor: prof. dr Radojica Jovićević).
Univerzitetsku karijeru je započeo kao asistent na Filološkom fakultetu Univerziteta u Prištini. Bio je direktor Studentskog kulturnog centra. Držao je gostujuća predavanja iz lingvističkih predmeta i na Pedagoškoj akademiji u Prištini, Internacionalnom univerzitetu u Novom Pazaru, Medicinskom fakultetu Podgorica – Visoka medicinska škola.
U zvanje docenta izabran je na Filozofskom fakultetu Univerziteta Crne Gore 2011, a 2016. godine u zvanje vanrednog profesora. Predaje: Staroslovenski jezik (pravopis i fonetika), Staroslovenski jezik (morfologija), Istorija crnogorskog jezika (fonetika), Istorija crnogorskog jezika (morfologija) – na osnovnim i Uvod u onomastiku na magistarskim studijama.
Učestvovao je na preko trideset naučnih skupova u zemlji i inostranstvu. Objavio je oko 200 naučnih i stručnih radova, studija, ogleda i prikaza u domaćim i inostranim časopisima.
Bio je odgovorni urednik „Tokova“, časopisa za naučna, književna i društvena pitanja, član redakcije listova „Novi svet“ i „Sloboda“, jedan od urednika opšte monografije Berana. Bio je sekretar Saveza slavističkih društava SFRJ, član Uprave MSC-a. Član je Matice crnogorske, Društva za primijenjenu lingvistiku Crne Gore i Filološkog društva Internacionalnog univerziteta Novi Pazar. Recenzirao je i uredio tridesetak knjiga iz lingvistike i književnosti. Autor je scenarija za dokumentarni film „Vjetar vjekova“ – povodom 100 godina od rođenja Mihaila Lalića.
Bio je predsjednik ili član mnogobrojnih žirija u oblasti kulture.
Autor je knjiga: „Lična imena Zaostra“, „Stara lična imena“, „Onomastika Budimlje“ i „Antroponimija Police“.